তিনটি মেশিন একটি কাজ যথাক্রমে ৪, ৬ এবং ৮ ঘণ্টায় সম্পন্ন করতে পারে। দুইটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘণ্টায় কতটুকু কাজ করতে পারবে?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে প্রতিটি মেশিনের এক ঘণ্টার কাজের পরিমাণ বের করি:

    
• প্রথম মেশিন ৪ ঘণ্টায় কাজটি সম্পন্ন করে। সুতরাং, ১ ঘণ্টায় প্রথম মেশিন কাজটির \(\frac{1}{4}\) অংশ সম্পন্ন করে।
    
• দ্বিতীয় মেশিন ৬ ঘণ্টায় কাজটি সম্পন্ন করে। সুতরাং, ১ ঘণ্টায় দ্বিতীয় মেশিন কাজটির \(\frac{1}{6}\) অংশ সম্পন্ন করে।
    
• তৃতীয় মেশিন ৮ ঘণ্টায় কাজটি সম্পন্ন করে। সুতরাং, ১ ঘণ্টায় তৃতীয় মেশিন কাজটির \(\frac{1}{8}\) অংশ সম্পন্ন করে।

প্রশ্ন অনুযায়ী, "দুইটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে"। এর মানে হলো, আমরা সেই দুটি মেশিনকে বেছে নেব যারা সবচেয়ে দ্রুত কাজ করতে পারে বা যাদের কাজের হার (work rate) সবচেয়ে বেশি। এখানে কাজের হার হলো প্রতি ঘণ্টায় সম্পন্ন কাজের পরিমাণ।

কাজের হারের তুলনা:

    
• \(\frac{1}{4}\) (প্রথম মেশিন)
    
• \(\frac{1}{6}\) (দ্বিতীয় মেশিন)
    
• \(\frac{1}{8}\) (তৃতীয় মেশিন)

এই তিনটির মধ্যে সবচেয়ে বেশি কাজের হার হলো \(\frac{1}{4}\) এবং \(\frac{1}{6}\) (যেহেতু ৪ < ৬ < ৮, তাই \(\frac{1}{4}\) > \(\frac{1}{6}\) > \(\frac{1}{8}\))। সুতরাং, দুটি সর্বোচ্চ ক্ষমতাসম্পন্ন মেশিন হলো প্রথম ও দ্বিতীয় মেশিন।

এখন, এই দুটি মেশিন এক ঘণ্টায় মোট কতটুকু কাজ করতে পারে তা বের করি:

মোট কাজ = প্রথম মেশিনের ১ ঘণ্টার কাজ + দ্বিতীয় মেশিনের ১ ঘণ্টার কাজ

মোট কাজ = \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\)

ভগ্নাংশ দুটি যোগ করার জন্য তাদের ল.সা.গু. (লসাগু) বের করি। ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু. হলো ১২।

মোট কাজ = \(\frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2}\)

মোট কাজ = \(\frac{3}{12} + \frac{2}{12}\)

মোট কাজ = \(\frac{3+2}{12}\)

মোট কাজ = \(\frac{5}{12}\)

সুতরাং, দুইটি মেশিন সর্বোচ্চ ক্ষমতায় কাজ করে এক ঘণ্টায় কাজটির \(\frac{5}{12}\) অংশ সম্পন্ন করতে পারবে।